dg-kategorien.txt

It's not true that you can recover derived categories of schemes from derived
categories of a cover via gluing data.


=== Grundlegende Definitionen

Sei k ein kommutativer Grundring.

Def.:
1) C(k) ist die Kategorie der Kettenkomplexe von k-Moduln.
2) Eine dg-Kategorie ist eine C(k)-angereicherte Kategorie.
   Konvention: Verkettung soll Morphismus Hom(B,C) \otimes Hom(A,B) --> Hom(A,C) sein.

Bsp.: Sei A eine k-Algebra.
1) C(A) wird dg-Kategorie.
2) BA (bestehend aus nur einem Objekt und A[0] als Hom-Komplex) wird dg-Kategorie.

Def.: dg-Funktor und dg-natürliche Transformation.

Def.: Seien A und B dg-Kategorien. Dann wird auch Funct(A,B) zu einer
dg-Kategorie, mit folgender Setzung:
    Hom^n(F, G) := { eta : F^gr --> G^gr[n] }
        mit Differential d(eta)_X = d(eta_X).
    Ein solches eta ist per Definition eine Familie von Elementen
        eta_X \in Hom^n(FX, GX)
    mit
        G(f) . eta_X = (-1)^ns eta_Y . F(f) \in Hom^(n+s)(FX, GY)
    für alle f \in Hom^s(X, Y). Ist wohldefiniertes Differential --
    egal, welche Kompositionsreihenfolgenkonvention man in der Definition einer
    angereicherten Kategorie wählt.
Das ist tatsächlich nichts besonderes, sondern Spezialfall der ganz
gewöhnlichen angereicherten Funktorkategoriekonstruktion (mit Hom-Objekten als
Equalizer gewisser zweier Morphismen): Siehe etwa Seite 192
von Borceux, Stubbe, Short introduction to enriched categories.

Beachte: Auch, wenn A und B nur ein Objekt enthalten, so tut dies Funct(A,B) im
Allgemeinen nicht. Daher ist man gezwungen, auch größere dg-Kategorien zu
betrachten.


=== dg-Yoneda

Sei V eine dg-Kategorie. Zu einem Objekt X von V assoziiere dg-Funktor

    X^ : V^op --> C(k-Mod),
            Y |-> Hom_V(Y, X)

mit Morphismenanteil

    Hom_V^p(Z, Y) --> Hom^p(X^(Y), X^(Z))
                f |-> (g \in Hom_V^i(Y,X) |-> (-1)^pi g . f)_i.

Beachte dabei die hineinkommenden Vorzeichen!

Dann kann man die Yoneda-Einbettung hinschreiben:

    V --> Funct(V^op, C(k-Mod)),
    X |-> X^

mit Morphismenanteil

    Hom_V^n(X, W) --> Hom^n(X^, W^)
              phi |-> phi^ mit phi^_A : f \in Hom^i(A,X) |-> phi . f.

Dieser ist ein Isomorphismus, mit Inversem

    Hom^n(X^, W^) --> Hom_V^n(X, W)
            alpha |-> alpha_X(id_X).

So ein alpha erfüllt übrigens

    alpha_A(g) . f = alpha_B(g . f)

für alle f \in Hom^s(B,A), g \in Hom^i(A,X). Dabei haben sich die Vorzeichen
in X^ und W^ sowie in der Definition der dg-Funktorkategorie genau
herausgekürzt.

Man hat auch eine dg-Variante des Yoneda-Lemmas:

    Hom(X^, F) ~~  F(X),

mit Iso nach rechts durch

    alpha |-> alpha_X^0(id_X) \in F(X)^n

und Iso nach links durch

    omega \in F(X)^n |-> alpha mit
        alpha_A = (f \in Hom^i(A,X) |-> (-1)^in F^i(f)^n(omega)).

Beim Nachrechnen bedenke, dass F als kontravarianter Funktor die Gleichung

    F^s(g)^(n+i) . F^i(f)^n = (-1)^is F^(s+i)(f . g)^n

für f \in Hom^i(A,X), g \in Hom^s(B,A) erfüllt. Beachte die Vorzeichen!


=== Konzentrierte dg-Kategorien

* Sei A eine dg-Kategorie, deren Hom-Komplexe nur in Grad 0 Kohomologie haben.
  Dann ist A quasi-äquivalent zu H^0(A). Siehe Seite 10 von
  http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.


=== Modellstruktur

Auf der Kategorie der dg-Kategorien über einem Körper gibt es folgende
Modellstruktur:

* Die schwächen Äquivalenzen sind die Quasi-Äquivalenzen.

* Faserungen sind volle Funktoren mit einer Zusatzeigenschaft.

* Die Kofaserungen ergeben sich dann daraus.

Siehe Seite 19f. von
http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.

In dieser Modellstruktur sind alle Objekte fasernd.


=== dg-Moduln

Die Kategorie der dg-Moduln auf einer dg-Kategorie A ist

    A^op-Mod := Funct(A^op, C(k-Mod)).

Def.:
1) Moduln der Form X^ heißen frei.
2) Moduln heißen semi-frei, wenn er eine endliche (?) Filtrierung
   durch Moduln besitzt, sodass die Faktormoduln jeweils direkte Summen von
   Shifts freier Moduln sind.
3) Modul F heißt azyklisch :<=> F(A) azyklisch f.a. A
   Bsp.: X^ ist genau dann azyklisch, wenn id_X nullhomolog in Hom(X,X).
4) Modul F heißt h-projektiv :<=> Hom_Ho(P, F) = 0 f.a. azyklischen Moduln F
   Bsp.: Alle semi-freien Moduln sind h-projektiv, denn für freie ist das klar,
   für Shifts ziemlich klar und vielleicht hat man folgende Eigenschaft: Sind
   F/G und G h-projektiv, so auch F.

* Sei A eine dg-Algebra. Dann gibt es nur einen einzigen freien
  A-Modul, nämlich A selbst (als Komplex).

* Sei A eine gewöhnliche Algebra. Dann ist der einzige freie A-Modul
  in Grad 0 konzentriert. Vermutlich gilt dann auch Perf(A) = Perf(A)
  (in den beiden Sinnen).


=== Prä-triangulierte Kategorien

Def.: Ein Shift X[r] eines Objekts X einer dg-Kategorie A besteht aus einem
Objekt X[r] zusammen mit geschlossenen Morphismen
    alpha : X --> X[r] vom Grad -r,  beta : X[r] --> X vom Grad r,
die zueinander invers sind.

Def.: Ein Kegel C eines geschlossenen Grad-0-Morphismus f besteht aus einem
Objekt C zusammen mit Grad-0-Morphismen
    i : X[1] <-> C : p,  s : C <-> Y : j
mit
    pi = 1, sj = 1, si = 0, pj = 0, ip + js = 1,
    dj = 0, dp = 0, di . alpha = jf, ds = -f beta p.

Je zwei Kegel sind zueinander eindeutig isomorph. Dieser Kegelbegriff
formalisiert "strikte Kegel". Diese erfüllen nicht die Axiome triangulierter
Kategorien!

Def./Lemma:
1) Zu einer dg-Kategorie A gibt es eine Kategorie A^pre-tr...
2) Diese ist abgeschlossen unter Kegeln von geschlossenen Grad-0-Morpismen.
3) Außerdem ist jedes Objekt in A^pre-tr sukzessiver Kegel von geschlossenen
   Grad-0-Morphismen, deren Quelle in A liegt.
4) A heißt prä-trianguliert, wenn Ho(A) --> Ho(A^pre-tr) eine Äquivalenz ist.
   Das ist gleichbedeutend damit, dass A Shifts und Kegel enthält.

Lemma: Die Homotopiekategorie einer prä-triangulierten Kategorie ist eine
triangulierte Kategorie.
Beweis: Der üblichen Beweis, dass Kom(A)/Homotopie trianguliert ist, lässt sich
in dem Kontext hier wiederholen. Habe das für TR1 bis TR3 geprüft (nur nicht
Rückwärtsrotieren). TR4 (Oktaederaxiom) habe ich mir nicht ausgeschaut.
Details stehen ab Seite 51 in
http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.
TR4 schaut sich der aber auch nicht an. :-)

* Sei A eine dg-Kategorie und B eine prä-triangulierte dg-Kategorie.
  Dann ist Funct(A,B) auch wieder prä-trianguliert.


=== Dumme und gute Kategorie von Morphismen

* Die dumme Morphismenkategorie zu einer dg-Kategorie A hat als Objekte
  geschlossene Grad-0-Morphismen X --> Y und Morphismenkomplexe

      Hom(f, g) := { (u,v) | g u = v f }.

  Hier erlauben wir aber nicht, dass gu und vf lediglich homotop zueinander
  sind.

* Die gute Morphismenkategorie hat dieselben Objekte, aber als
  Morphismenkomplexe

      Hom(f, g) := { w in A(C(f), C(g)) | p' w j = 0 }.

  In dieser Formulierung muss man voraussetzen, dass A prä-trianguliert ist
  (sonst gibt es die Kegel vielleicht nicht). Man kann das aber umschreiben,
  sodass Kegel nicht mehr explizit eingehen.

* Habe einen Funktor Mor_stupid --> Mor_gut, der treu, aber nicht voll ist.
  In diesem Sinn ist Mor_gut also wirklich eine Verallgemeinerung.

* Habe (wenn A prä-trianguliert) einen dg-Kegelfunktor Mor_gut(A) --> A.
  Natürlich gibt es aber keinen kompatiblen Funktor Mor H^0(A) --> H^0(A).

Siehe: Seite 65 und davor in
http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.


=== [.]

Def.: Sei M eine dg-Kategorie.
1) [M] ist diejenige gewöhnliche (k-lineare) Kategorie, die man aus M
   erhält, indem man von allen Hom-Komplexen jeweils H^0 nimmt.
2) Ein M-Modul ist ein dg-Funktor T --> C(k).
3) Wenn M sogar eine C(k)-angereicherte Modellkategorie ist, ist
   Int(M) diejenige Unterkategorie, die nur aus den fasernden und zugleich
   kofasernden Objekten besteht.
   -- Ein beschränkter Komplex in C(R) ist genau dann zugleich fasernd und
      kofasernd, wenn all seine Bestandteile projektive R-Moduln sind.
4) L(M) := Int(M-Mod).

Beob.: [Int(M)] = Ho(M) = M lokalisiert an Äquivalenzen.

Bsp.:
1) [L(BA)] ~ D(R).
2) D(BA) := Ho(BA-Mod) ~ D(R).


=== dg-derivierte Kategorie von Schemata

Def.: X k-Schema.
1) L(X) := L(O_X) := Int(C(O_X)).
2) Volle Unterkategorie P_perf(X) der perfekten Komplexe.
   -- die kompakten Objekte in D(X) (Achtung, andere Definition)
   -- vermutlich genau die Komplexe, die qis zu beschränkten Komplexen
      projektiver O_X-Moduln v.e.T. sind.

Prop.: L_perf(X) ist Homotopiepullback von L_perf(U) und L_perf(V) über
L_perf(U \cap V).

Prop.: X, Y glatt, eigentlich/k. Dann RHom(L_perf(X), L_perf(Y)) ~ L_perf(X x Y).


=== Verdier-Quotienten in der dg-Welt

* Idee: Um A/B zu bauen, füge für jedes Objekt U aus B einen Morphismus eps in
  Grad -1 mit d(eps) = id_U ein. http://arxiv.org/abs/math/0210114
  http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf (S. 18)

* Hom_{A/B}(X, Y) = cone(h_Y tensor_B^L tilde h_X --> Hom(X,Y)),
  als Objekte in der abgeleiteten Kategorie der k-Moduln.

  Die Aussage muss präzisiert werden, siehe Seite 3 von
  http://arxiv.org/abs/math/0210114.

* Dieser Quotient heißt auch/besser Drinfeld-Quotient. Für die
  Homotopiekategorien gilt (A prä-trianguliert), dass A/B wieder
  prä-trianguliert ist mit

      [A/B] = [A] / [B],

  wobei auf der rechten Seite der gewöhnliche Verdier-Quotient gemeint ist.

  Quelle: Thm. 3.8 in http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf.

* Sei X ein separiertes Schema von endlichem Typ über einem Körper.
  Dann ist die unbeschränkte derivierte Kategorie definiert als

      D(X) := [Kom(X)] / [Kom^acycl(X)].

  Siehe http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf, Abschnitt 3.10. Es geht aber
  auch:

      D(X) := [h-flat(X)] / [h-flat^acycl(X)].

  Zur Erinnerung: Ein Komplex F heißt h-flach genau dann, wenn Tot(F tensor A)
  azyklisch ist für alle azyklischen Komplexe A.

  * Der Pullback h-flacher Komplexe ist h-flach.
  * Der Pullback h-flacher azyklischer Komplexe ist h-flach azyklisch.
  * Das Tensorprodukt eines h-flachen azyklischen Komplex mit irgendeinem
    Komplex ist azyklisch.

  Das ist gut, um Lf^* definieren zu können. Mit Brown-Darstellbarkeit bekommt
  man dann ein Rf_*.


=== Die abgeleitete Kategorie einer dg-Kategorie

* D(A) := Ho(C(A)). Das ist eine gewöhnliche 1-Kategorie, keine dg-Kategorie.
  Dabei ist C(A) = Funct_dg(A^op, C(k)) und "Ho" muss im modelltheoretischen
  Sinn verstanden werden. Es ist also nicht einfach H^0. H^0(C(A)) kann als
  K(A) bezeichnet werden.

* Dann hat man für kofasernde Komplexe F: K(A)(F,G) --> D(A)(F,G) ist ein Iso.
  Siehe Seite 24 von
  http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.

* D(A)(h_X, G) --> H^0(G(X)) ist ein Iso.

* H^0(A) --> D(A) ist volltreu.


=== Lifts von Funktoren in die dg-Welt

* http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts
  Angeblich ist eine hinreichende Bedingung, dass die gefragten abgeleiteten
  Kategorien von einer starken exzeptionellen Zwei-Term-Sequenz erzeugt werden.


=== Neue Enhancements

Valery A. Lunts, Olaf M. Schnürer.
New enhancements of derived categories of coherent sheaves and applications.
http://arxiv.org/abs/1406.7559


=== Krasse Dinge in der dg-Welt

* Okay, noch nicht so krass, aber: Faserprodukte und Funktorkategorien von
  dg-Kategorien sind wieder dg-Kategorien.

* "By simply inverting the class of derived Morita equivalences,
  Hochschild homology can be conceptually understood as the Euler
  characteristic." http://arxiv.org/pdf/1108.3787v1.pdf, Prop. 3.3.

* Es ist ja bekannt, dass das normale D(X) zwar viele Invarianten von X
  festlegt, aber nicht erlaubt, diese aus D(X) zu berechnen. Mit dem dg-D(X)
  ist dieser Makel behoben.

* Man kann dg-Kategorien längs dg-Bimoduln verkleben.
  http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf


=== Verklebung von dg-Kategorien

* [C x_phi D] = <[C], [D]>.

* Sei C prä-trianguliert mit einer semi-orthogonalen Zerlegung

      [C] = <D_1, D_2>.

  Dann ist C quasi-äquivalent zu der Verklebung zweier dg-Kategorien C_1 und
  C_2 mit [C_1] = D_1, [C_2] = D_2. Das ist Prop. 4.10 in
  http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf.


=== Nächste Schritte

* Das dg-Paper von Toën zusammenfassen.
* Barr-Beck verstehen.
* Ho(dg-cat), Links- und Rechtsableitung verstehen.

Siehe auch:
* http://nforum.mathforge.org/discussion/2969/derived-category-of-sheaves/
* http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/OnDGCat.pdf
* Grothendieck ring of pretriangulated categories: http://arxiv.org/pdf/math/0401009v1.pdf
* Ben-Zvi, Francis, Nadler: http://arxiv.org/pdf/0805.0157v5.pdf
* http://www.mi.ras.ru/~akuznet/dgcat/Keller%20On%20differential%20graded%20categories.pdf
* http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-3.pdf
* http://arxiv.org/pdf/math/0601185v5.pdf On differential graded categories, Keller.
* http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts
  Enthält eine schöne Einführung in dg-Kategorien.

* Für Vorzeichen:
  Grothendieck Duality and Base Change, Ausgabe 1750, Brian Conrad.
  http://books.google.de/books?id=1e4sUeGb1nIC&pg=PA10&lpg=PA10&dq=higher+direct+image+example&source=bl&ots=Qaq86ZS6sF&sig=08aH2pnyCUqyXWWncaKT9tLyrdk&hl=de&sa=X&ei=kilZVN6XNovXPI3pgMAG&ved=0CBkQ6AEwATgK