fragen-2014-12.txt

* Du hattest dich mal gefragt, ob BKR auch auf dg-Niveau existiert.
  Wenn ich die Frage richtig verstanden habe, ist die Antwort trivial: Ja, denn
  man kann den BKR-Morphismus auf dg-Niveau hinschreiben, und er ist dann auch
  eine dg-Äquivalenz, denn das testet man auf Niveau der Homotopiekategorien.

* Betrachte Y --> X = Y/G. Gilt dann Aut D(Y) = G semidirekt Aut D(X)?
  Nein, im Allgemeinen nicht. Ein Gegenbeispiel liefert schon Y = P^1 x P^1,
  X = (P^1 x P^1)/S_2 = S^2 P^1 = P^2.

* Wie eine Kategorie zu präsentieren ist, um in ihr Homs, ggf. Exte und sogar
  ihre Automorphismen bestimmen zu können, ist mir immer noch nicht klar.

  Bei derivierten Kategorien denkt man natürlich an semi-orthogonale
  Zerlegungen und exzeptionelle Sequenzen. Leider existieren diese aber nicht
  immer (etwa auf Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten nicht) und auch wenn, ist mir
  nicht klar, wie man mit ihrer Hilfe zum Beispiel Ext-Gruppen berechnen kann.

  Außerdem muss eine gute Theorie von Erzeugern und Relationen ja
  ermöglichen, aus einer Darstellung von D^b(X) eine von D^b(X)^{tensor n} und
  dann eine von S^n D^b(X) zu konstruieren. Bei semi-orthogonalen Zerlegungen
  war mir das bis vor Kurzem auch nicht klar, dann bin ich -- leider erst
  letzte Woche -- auf Kuznetsovs Artikel /Base change for semiorthogonal
  decompositions/ gestoßen.

  Der wird (zum Beispiel in Ploog und Sosna, http://arxiv.org/pdf/1212.4604.pdf,
  Prop. 2.2) so zitiert, dass man aus Erzeugern von D^b(X) Erzeuger für
  D^b(X^n) und für S^n D^b(X) erhalten kann. (Dabei ist mit "Erzeugern" eine
  Klasse von Objekten gemeint, sodass die kleinste triangulierte
  Unterkategorie, die diese Erzeuger enthält und abgeschlossen unter direkten
  Summanden ist, die volle derivierte Kategorie ist. Wie aus Kuznetsovs Arbeit
  die Behauptung für S^n D^b(X) folgt, muss ich noch verstehen.)

  Dann gibt es noch zwei ganz andere Ansätze. Unter gewissen Umständen ist
  D^b(X) ja äquivalent zu einer derivierten Kategorie von Moduln, D^b(Mod-E).
  Wenn eine abelsche Kategorie A in Barakats Sinn berechenbar ist, konstruktiv
  genügend viele Projektive zulässt und ihre Hom-Mengen kohärente Moduln sind
  (das ist zum Beispiel bei der Kategorie der kohärenten Moduln über einem
  berechenbaren Ring der Fall), so kann man auch mit D^b(A) algorithmisch
  umgehen: Homs berechnen, Kegel konstruieren, Objekte und Morphismen auf
  Nullheit testen, ...

  Mir ist aber noch nicht klar, was gute Voraussetzungen sind, die garantieren,
  dass der Ring E in Mohameds Sinn berechenbar ist.

  Schließlich gibt es noch die schöne Theorie lokal endlich präsentierter
  Kategorien, also die Theorie mengenwertiger Modell endlicher Limesentwürfe.
  Damit kann man Kategorien durch endlich viele Daten beschreiben. Außerdem
  kann man Homs explizit angeben (als natürliche Transformationen zwischen
  Modellen). Man erhält allerdings keine endliche Präsentation (in irgendeinem
  Sinn) der Homs, sodass mir dieser Ansatz für Berechnungen ungünstig
  erscheint.

* Ideelle Injektive (in Analogie zu den ideellen Oberkörpern aus der Algebra II)
  -- also Objekte, die nicht wirklich injektiv sind, sich aber bei Vorlage
  eines auszufüllenden Injektivitätsdiagramm durch Pushoutbildung durch ein
  größeres Objekt ersetzen können, welches dieses eine Diagramm dann ausfüllt
  -- klingen für mich weiterhin nach einem interessanten Konzept.

  Etwas konkreter: Ist i : A --> B ein Monomorphismus und f : A --> I ein
  fortzusetzender Morphismus, so ersetze I durch I', den Pushout von i längs f.

  Es gibt aber zumindest drei Stolpersteine:

  1. Anders als bei den ideellen Oberkörpern k[X]/(f), bei denen bei jeder
  Ersetzung der Grad von f abnimmt, ist bei ideellen Injektiven weniger klar,
  wie unendliche Regresse verhindert werden können. Auf jeden Fall darf man
  nicht bei *jedem* vorgelegten auszufüllenden Injektivitätsdiagramm eine
  Verfeinerung vornehmen -- nur, wenn man geprüft hat, dass die vorhandene
  Instanz des ideellen Injektiven nicht auch das Diagramm ausfüllen kann.
  Um das algorithmisch entscheiden zu können, muss man also genügend gut mit den
  Hom-Mengen in der betrachteten Kategorie umgehen können.

  Außerdem ist nicht klar, dass die Folge der Verfeinerungen im Grenzwert ein
  richtiges Injektives gibt. (Das ist nicht a priori schlimm, aber zumindest
  ein Kontrast zu den ideellen Oberkörpern.)

  2. Sei 0 --> I --> Y --> Z --> 0 eine kurze exakte Sequenz, wobei I ein
  ideelles Injektives ist. Dann sollte diese Sequenz -- nach Verfeinerung von I
  -- zerfallen. Dummerweise ist die Verfeinerung I' isomorph zu Y, es wird also
  keine kurze exakte Sequenz der Form 0 --> I' --> Y --> Z --> 0 geben.
  (Dieses Argument zieht natürlich nicht ganz, denn man muss ja fragen, woher
  die Sequenz 0 --> I --> Y --> Z --> 0 stammt. Nach Verfeinerung von I durch I'
  muss ja das Programm neugestartet werden, sodass sich vielleicht ganz andere
  Objekte Y und Z ergeben.)

  3. Angenommen, wir wollen abgeleitete Funktoren über ideelle Injektive
  berechnen. Dann bauen wir also von einem Objekt X eine ideell-injektive
  Auflösung. Im ersten Schritt, vor Verfeinerungen, sieht diese so aus:

      0 --> X --> I_0 --> I_1 --> ..., wobei I_0 = X, I_1 = 0, I_2 = 0, ...

  Dann ergibt sich R^1 F(X) als 0. Nun ist nicht klar, welche Operationen mit
  diesem Ergebnis auszuführen sind, um genügend viele Verfeinerungen von den
  I_j's anzustoßen, damit R^1 F(X) den richtigen Wert annimmt.

* Interne Methoden: Aus meiner Sicht könnten folgende Auskopplungen meiner
  Notizen für sich selbst stehen. Das sind aber alles recht kleine Dinge.

  * Ist j eine Lawvere--Tierney-Topologie auf einem Topos E, so stehen die
    interne Sprache des Untertopos E_j mit der internen Sprache von E wie folgt
    in Beziehung.

        E_j |== phi   genau dann, wenn   E |== phi^j,

    wobei phi^j die j-Übersetzung von phi bezeichnet: jeden Existenzquantor und
    jede Disjunktion durch den modalen Operator j umschließen.

    Das Resultat ist natürlich so einfach, dass es sehr klassisch klingt;
    vielleicht ist es unter interessierten Leuten allgemein bekannt. Ich habe
    es aber noch nirgendwo schriftlich fixiert gesehen.

    Anwendungen dieser Beobachtung gibt es in der algebraischen Geometrie
    einige, unter anderem kann man damit in gewissen Grenzen voraussagen, wann
    sich eine Eigenschaft von Punkten zu offenen Umgebungen fortsetzt. Außerdem
    kann man damit intern über Garben auf Unterschemata sprechen. Schließlich
    ist die Theorie der j-Garben allgemein (nicht speziell die j-Übersetzung)
    wichtig, um ein internes Kriterium für Quasikohärenz von Moduln formulieren
    zu können.

  * Wie man das relative Spektrum intern als gewöhnliches Spektrum konstruiert.
    (Hier muss ich noch untersuchen, was die genaue Verbindung zu Gillams
    Ansatz zur Lokalisierung geringter Räume ist. Die Verbindung zu Hakims
    Konstruktion aus ihrer Doktorarbeit habe ich verstanden.)

  * Was man auch mal auf ein paar Seiten aufschreiben könnte, wäre die
    Äquivalenz zwischen der Konstruktion der reellen Zahlen über dedekindsche
    Schnitte und über Cauchy-Prozesse (statt Cauchy-Folgen). Das scheint seit
    den 70er Jahren in Vergessenheit geraten zu sein (vielleicht auch deswegen,
    weil Mulveys Artikel /The real numbers in a topos/ nie erschienen ist), ist
    aber durchaus nützlich.


Divisoren
abgeschlossene Unterschemata
K-Theorie, insb. von Schemata
Aufblasung
Normalenbündel
äquivariante Geometrie
Stacks (Vortrag auf der Bayerischen Kleinen AG)
Hilbertschema, Euler-Charakteristik, ...
Lokale Systeme

* Per Hand erfordert die Bestimmung von Automorphismen abgeleiteter Kategorien
  ja viel Mühe und nichttriviale Mathematik. Ist es realistisch, dass ein
  algorithmischer Ansatz über Erzeuger und Relationen funktionieren kann?
  Wie allgemein kann ein solcher Ansatz sein? Ist es vorstellbar, dass man aus
  einer geeigneten Präsentation einer allgemeinen Varietät X die
  Automorphismengruppe von D^b(X) und S^n D^b(X) berechnen kann? Oder ist eher
  nur an eine bestimmte Klasse von Varietäten X zu denken?