galoistheorie.txt

=== Unendliche Galoistheorie

* Gal(F_p-bar | F_p) = Z^.

* Gal(Q_ab | Q) = Einheitengruppen von Z^.
  Dabei ist Q_ab = Q(alle Einheitswurzeln).

* Gal(C(X)(alle Wurzeln von X) | C(X)) = Z^.

* Vermutung: Gal(Q-bar | Q_ab) ist die freie proendliche Gruppe auf abzählbar
  vielen Erzeugern.

* Gal(K(X)-ab | K(X)) ist die freie proendliche Gruppe auf K, wenn K
  ein algebraisch abgeschlossener Körper ist.

Siehe http://faculty.ycp.edu/~fbutler/MastersThesis.pdf.


=== Das inverse Problem der Galoistheorie

* Jede endliche Gruppe ist die Galoisgruppe einer endlichen Galoiserweiterung
  von C(X). http://faculty.ycp.edu/~fbutler/MastersThesis.pdf, Seite 22.

* Jede endliche Gruppe ist die Galoisgruppe einer endlichen Galoiserweiterung
  mit Q(x_1,...,x_n) als Oberkörper: Mit Cayley in S_n einbetten. Die
  Galoisgruppe von Q(x_1,...,x_n) über Q(s_1,...,s_n) (elementarsymmetrische
  Funktionen) ist S_n. Dann fertig mit Hauptsatz.


=== Endliche und unendliche Galoistheorie konstruktiv

* Der Hauptsatz der endlichen Galoistheorie, so wie in jedem Lehrbuch
  formuliert (beliebige Untergruppen und beliebige Zwischenerweiterungen
  betreffend), lässt sich nicht konstruktiv zeigen.

* Aber schon, wenn man ihn lokalisch umformuliert. Dann ist es auch
  gleich egal, ob die Erweiterung endlich ist. Die Erweiterung muss normal und
  separabel sein, was man so formulieren kann: Jedes Element von L ist
  Nullstelle eines normierten separablen Polynoms über K, das über L in
  Linearfaktoren zerfällt. (Die Nullstellen eines solchen Polynoms sind
  voneinander entfernt in dem Sinn, dass ihre paarweisen Differenzen
  invertierbar sind.) Das ganze bezieht sich auf geometrische Körper.

* Die lokalische Galoisgruppe wird nur über geometrische Klauseln
  definiert, ihre Konstruktion ist also geometrisch und zieht sich daher
  wunderbar zurück.

  Kann sogar auf unendliche Disjunktionen vermeiden. Wir brauchen dazu nur,
  dass jedes Element Nullstelle eines normierten Polynoms ist, das endlich
  viele Nullstellen hat. Die Axiome sind dann nämlich:

  * Ringhomoaxiome
  * Eindeutigkeit: f(x) = y ∧ f(x) = y' ⊢ ⊥  (für y != y')
  * Totalität: ⊤ ⊢ bigvee_{y Nst.} f(x) = y  (für alle x und alle Polynome wie oben)

  Daraus ergeben sich Injektivität (trivial) und Surjektivität (Zählprinzip)
  automatisch.

* Das wird alles schön erklärt in Wraiths /Galois theory in a topos/.
  Ist ein schönes Beispiel für das Motto, dass man konstruktiv Topologie früher
  beachten muss als klassisch. Siehe auch /Localic groups/.

  Vgl. http://arxiv.org/abs/1301.0300.

* Sei G eine lokalische Gruppe (im Deutschen sollten wir wohl "stetige Gruppe"
  sagen, so ähnlich wie bei "differenzierbare Mannigfaltigkeit"). Sei A eine
  Menge. Eine Wirkung von G auf A ist dann ein Morphismus von Gruppenobjekten

      G --> Perm(A),

  wobei Perm(A) die Örtlichkeit der Bijektionen von A ist. Es ist Perm(A) wohl
  auch das Exponentialobjekt A^A, wobei hier A als diskrete Örtlichkeit
  aufgefasst wird, sodass ein solcher Morphismus einen Morphismus G x A --> A
  induziert (wobei A weiterhin diskret aufgefasst wird).

  Eine solche G-Wirkung ist also gegeben durch Offene U_{x,y} für x, y aus A,
  sodass folgende grundlegenden Axiome erfüllt sind:

      0. Totalität:     top = bigvee_y U_xy
      1. Eindeutigkeit: U_xy wedge U_xy' <= bigvee { top | y = y' }
      2. Injektivität:  U_xy wedge U_x'y <= bigvee { top | x = x' }
      3. Surjektivität: top = bigvee_x U_xy

  Dann brauchen wir noch die Axiome für einen Gruppenhomomorphismus.

      G x G ---> Perm(A) x Perm(A)
        |                |
        | mu             |
        v                v
        G ----------> Perm(A)

  Also:

      4. mu^(-1)(U_xy) = bigvee_z (U_xy wedge U'_zy)
      5. eta^(-1)(U_xy) = bigvee { top | x = y }
      6. iota^(-1)(U_xy) = U_yx

  Nur Axiom 4 ist wirklich nötig, die anderen ergeben sich zwangsläufig.

  Der Fixort kann wie folgt definiert werden:

      Fix = { a aus A | (G --> Perm(A) --ev_a--> A) = (G --> pt --konst_a--> A) }
          = { a aus A | U_xx = top }.

  Die Menge der Orbits ist A/~ mit folgender Äquivalenzrelation:

      a ~ b  :<==>  U_ab != bot.

  (Klingt gefährlich, aber macht Wraith so in /Localic groups/.)

  Mit dieser Definition wirkt etwa Perm(A) auf A transitiv (egal, wie groß A
  ist, und ohne Auswahlaxiom!). (Wobei ehrlich gesagt nicht völlig klar ist,
  wieso phi_ab != bot ist.)


=== Algebraischer Abschluss

* Kennison schreibt, dass man aus dem separablen Abschluss leicht einen
  algebraischen machen kann, mittels Wraith-Gluing. Siehe letzter Absatz von
  https://core.ac.uk/download/pdf/82351288.pdf ("Separable algebraic closure in
  a topos"). Verstehe das!


=== Separabilität

* Ein normiertes Polynom f ∈ A[X] ist genau dann *unverzweigbar*, wenn (1) =
  (f'(x_1),...,f'(x_n)) in der Zerfällungsalgebra von L. Ist A lokal, so ist
  das äquivalent dazu, dass (1) = (d_i(f))_i in A, wobei d_i(f) =
  e_i(f'(x_1),...,f'(x_n)).

* Wraith sagt: Ein Ring ist genau dann *separabel abgeschlossen*, wenn jedes
  normierte unverzweigbare Polynom eine einfache Nullstelle besitzt. Thierry
  hat aber gezeigt, dass das schon dann der Fall ist (für lokale Ringe), wenn
  jedes normierte unverzweigbare Polynom irgendeine Nullstelle besitzt.

  Für Körper, sagt Wraith, stimmt das mit der Definition "jedes normierte
  separable Polynom hat eine Nullstelle" überein. Das geht so: Sei f ein
  normiertes unverzweigbares Polynom über einem Körper. Einer seiner
  irreduziblen Faktoren besitzt ja dann in einem algebraischen Abschluss eine
  einfache Nullstelle. Damit muss der ganze Faktor separabel sein. Und besitzt
  daher nach Voraussetzung eine Nullstelle.

  Irreduzible Polynome mit einfacher Nullstelle sind nämlich schon separabel.

  Und konstruktiv geht das laut Thierry dank Manaa.

* Wraith sagt auch: Ein lokaler Ring ist genau dann separabel abgeschlossen,
  wenn er henselsch ist (d.h. wenn jede einfache Nullstelle eines normierten
  Polynoms im Restklassenkörper zu einer einfachen Nullstelle im Ring selbst
  liftet) und sein Restklassenkörper separabel abgeschlossen ist.

  "==>": Sei f normiertes Polynom mit einer einfachen Nullstelle im
  Restklassenkörper. Dann ist f über dem Restklassenkörper unverzweigbar und
  wegen der Lokalität von A → A/m auch über f unverzweigbar. Somit hat f eine
  einfache Nullstelle. Wenn deg(f) = 1, so ist diese ein Lift der
  ursprünglichen Nullstelle. sonst... siehe Wraith!

  "<==": Schnell getan. Brauche auch nur (im Lichte von Thierry), dass der
  Restklassenkörper separabel abgeschlossen ist und dass jede
  einfache Nullstelle zu einer beliebigen Nullstelle liftet.

* Wraith untersucht separable Erweiterungen lokaler Ringe, das sind lokale,
  flache und formal unverzweigte Homos in lokale Ringe.

  Ein separabler Abschluss ist dann eine separable Erweiterung, welche
  ihrerseits separabel abgeschlossen ist. Solche Abschlüsse sind Modelle einer
  geometrischen Theorie, der klassifizierende Topos ist der (kleine, gell?)
  étale Topos des Rings.

  Ich glaube, dass eine separable Erweiterung eines geometrischen Körpers
  nichts anderes ist als ein separabel abgeschlossener Körper, der separabel
  über dem Grundkörper ist (im Sinne von, dass jedes Element Nullstelle eines
  separablen Polynoms ist).


=== Nächste Schritte

* Grothendiecks Galoistheorie?
  
  http://arxiv.org/abs/math/0009145v1
  http://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/memoires/M1AlexPuttick.pdf

* Metatheorem: Gilt phi(x_1,...,x_n), so gilt auch phi(x_1',...,x_n'),
  wobei die x_i' zu den x_i simultan galoissch konjugiert sind.

* Josts Frage: Wieso funktioniert die Lösungsformel vierten Grads,
  obwohl die Galoisgruppe evtl. viel weniger als die volle S_4 ist?

* http://qchu.wordpress.com/2013/06/23/operations-pro-objects-and-grothendiecks-galois-theory/#more-12927

* Algebraischer Abschluss


=== Literatur

* https://arxiv.org/pdf/2408.07499, https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/galois/